Das Ei trennen.
Das Mehl, das Wasser, das Eigelb und eine Prise Salz in eine Schüssel geben und zu einem Teig kneten.
Den Teig zu einer Kugel formen, mit Frischhaltefolie umwickeln und 30 Minuten ruhen lassen.
In der Zwischenzeit die Kartoffeln schälen, waschen und in Salzwasser kochen.
Währenddessen den Pecorino reiben.
Die Zwiebel und den Knoblauch schälen und fein hacken.
Das Öl in einer Pfanne erhitzen und die Zwiebel und den Knoblauch darin andünsten.
Währenddessen die Minze waschen, die Blätter abzupfen und fein hacken.
Die Kartoffeln durch eine Kartoffelpresse in eine Schüssel drücken.
Den Pecorino, die Zwiebeln und den Knoblauch sowie die Hälfte der Minze zu den Kartoffeln geben, alles gut zu einer festen Masse vermengen und dann mit Salz abschmecken.
Den Hartweizengrieß auf einem großen, flachen Teller verteilen.
Ein Viertel des Teiges circa 5 mm dick ausrollen und mit einer Tasse Kreise von etwa 7-8 cm Durchmesser ausstechen.
Mittig auf jeden Teigkreis 1 TL Kartoffelfüllung geben, das Ganze zuklappen und den Teig entlang der runden Seite mit einer Gabel mehrfach festdrücken.
Die Teigtasche auf den Hartweizengrieß-Teller setzen und die oben genannten Schritte wiederholen, bis der gesamte Teig aufgebraucht ist.
Einen großen Topf mit Salzwasser zum Kochen bringen.
Die Teigtaschen in das kochende Wasser geben und so lange garen, bis sie an der Oberfläche schwimmen.
Währenddessen die Butter in einer Pfanne schmelzen.
Die verbliebene Hälfte der Minze zur Butter geben und etwas ziehen lassen.
Die Sardinien Culurgiones aus dem Wasser nehmen, in eine Schüssel geben, die Minze-Butter darüber gießen und das Ganze servieren.